Théorème d'Al-Kashi

Théorème

Soit  \(\text A\text B\text C\) un triangle. On appelle  \(a,b,c\) les longueurs des côtés opposés respectivement à  \(\text A,\text B\) et \(\text C\) .

Alors

• \(a^2=b^2+c^2-2bc \cos\hat{\text A}\)
  
• \(b^2=a^2+c^2-2ac \cos\hat {\text B}\)
  
• \(c^2=a^2+b^2-2ab \cos\hat{\text C}\)
  

Démonstration

On démontre la première égalité, les autres se démontrent de façon analogue. 
\(\vec{\text B\text C}^2=(\vec{\text B\text A}+\vec{\text A\text C})^2=(-\vec{\text A\text B}+\vec{\text A\text C})^2\)
\(\vec{\text B\text C}^2=\vec{\text A\text C}^2-2\vec{\text A\text C}\cdot \vec{\text A\text B}+\vec{\text A\text B}^2\)
\(\vec{\text B\text C}^2=\vec{\text A\text C}^2+\vec{\text A\text B}^2-2\text A\text C\times \text A\text B \cos\hat {\text A}\)
Avec les notations de la figure, on retrouve l'expression recherchée.

Remarque

Lorsque \(\text A\text B\text C\) est rectangle en \(\text A\) , l’hypoténuse mesure  \(a\) ,  \(\cos\hat{\text A}=0\) et on retrouve l'égalité de Pythagore :  \(a^2=b^2+c^2\) .

Exemple

Dans le triangle \(\text A\text B\text C\) , on connaît \(\text A\text B=5, \text A\text C=4\) et la mesure de l'angle \(\hat {\text A}\) qui vaut \(60°\) . On peut déterminer la longueur du côté manquant à l'aide du théorème d'Al-Kashi.
\(\text B\text C^2=\text A\text B^2+\text A\text C^2-2\text A\text B\times \text A\text C \times \cos \hat{\text A}= 25+ 16 -2\times 5 \times 4 \times \dfrac 1 2=21\) soit  \(\text B\text C=\sqrt{21}\) .